均值假设检验：从「平均数看起来不一样」到「有证据说不一样」
这份讲义像上课一样，从一个最朴素的问题出发：样本平均数差了一点，到底是真的有差别，还是抽样运气？
每章先讲直觉，再讲公式，最后用一道小题检查你是否真的懂了。算例可以点「下一步」逐步展开，交互实验可以自己拖动参数。
1为什么需要假设检验？
一句话：因为样本会「抖动」，光看平均数分不清「真差异」和「运气」。
想象你是一家工厂的质检员。零件的设计标准长度是 50.0 mm。今天你随手抽了 5 个零件，量出来平均是 50.2 mm。
问题来了：机器是不是真的偏了，需要停机校准？还是机器其实没问题，只是这 5 个刚好偏长一点？
直觉告诉我们：只抽 5 个，平均数本来就会上下晃。哪怕机器完美地以 50.0 为中心生产，每次抽 5 个算出的平均数也不会正好是 50.0。下面亲手验证一下。
样本均值会抖动
假设机器完全没问题：总体均值 μ = 50.0 mm，标准差 σ = 0.3 mm。每次随机抽 5 个零件，算一次平均。
点“抽一次”开始。
多抽几次你会发现：即使真实均值就是 50.0，样本均值也常常落在 49.8～50.2 之间，偶尔更远。所以「看到 50.2」本身说明不了问题。我们需要一把尺子来衡量：
如果机器真的没问题（真实均值 = 50.0），那么「抽到一个离 50.0 这么远的样本均值」的可能性有多大？
如果可能性非常小，我们就有理由怀疑「机器没问题」这个说法。这就是假设检验要做的事。
如果可能性非常小，我们就有理由怀疑「机器没问题」这个说法。这就是假设检验要做的事。
生活和经济里到处是这样的问题：
- 某城市今年家庭平均月支出，和去年相比真的变了吗？（单个均值 vs 一个参考值）
- 两种教学方法，学生平均成绩真的不同吗？（两个独立组的均值）
- 参加减重计划的人，前后体重真的下降了吗？（同一批人前后配对）
它们的共同点：我们关心的是总体的平均水平，但手里只有样本。
一个城市抽 50 户家庭，今年平均月支出比去年参考值高 80 元。下面哪种说法最恰当？
样本均值本身会抖动。80 元是“大”还是“小”，要和抽样波动的大小（后面会学的标准误）相比才知道。A、C 都是只看数字下结论。
2总体 vs 样本，参数 vs 统计量
先把“我们想知道的”和“我们手里有的”分清楚。
总体（population）
你真正关心的全部对象。例如：这台机器能生产的所有零件；全市所有家庭。描述总体的数字叫参数：总体均值 \(\mu\)、总体标准差 \(\sigma\)。参数是固定的，但通常不知道。
样本（sample）
你实际观测到的那一部分。例如：今天抽检的 12 个零件；调查到的 50 户家庭。由样本算出的数字叫统计量：样本均值 \(\bar x\)、样本标准差 \(s\)。统计量会随样本变化。
两个最常用的统计量
样本均值（样本的“中心”）：
\[\bar x=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i\]样本标准差（数据围绕均值的“分散程度”）：
\[s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2}\]为什么除以 \(n-1\) 而不是 \(n\)？因为我们用 \(\bar x\) 代替了未知的 \(\mu\)，数据离自己的样本均值“天然更近”，除以 \(n-1\) 是对这种低估的修正。这里的 \(n-1\) 叫自由度，第 5 章还会见到它。
假设检验永远是在对总体参数（如 \(\mu\)）下结论，用的证据是样本统计量（如 \(\bar x\)、\(s\)）。
“总体”也可以是想象中的无限总体：例如“这台机器在当前状态下会生产出的所有零件”。
“总体”也可以是想象中的无限总体：例如“这台机器在当前状态下会生产出的所有零件”。
“全校本科生平均每周学习时长”是什么？
它描述的是全体本科生（总体），所以是参数。你调查 100 人算出的平均时长才是统计量 \(\bar x\)，用来估计它。
3抽样分布、标准误 SE、中心极限定理
这是整套方法的地基：样本均值到底会抖多厉害？
第 1 章我们看到 \(\bar x\) 每次都不一样。如果把“反复抽样、每次算一个 \(\bar x\)”做成千上万次，所有 \(\bar x\) 组成的分布就叫样本均值的抽样分布。它有三个非常重要的性质：
- 中心在 \(\mu\)：样本均值不偏不倚，平均来说正好等于总体均值。
- 宽度 = 标准误（Standard Error）：\(\displaystyle SE(\bar x)=\frac{\sigma}{\sqrt n}\)。样本越大，\(\bar x\) 抖得越少。
- 形状接近正态（中心极限定理 CLT）：只要 \(n\) 足够大，不管总体长什么样（哪怕严重偏态），\(\bar x\) 的分布都近似正态。
标准差 \(s\) 描述的是单个数据有多分散；标准误 \(SE\) 描述的是样本均值有多不稳定。两者差一个 \(\sqrt n\)：\(\;SE=\sigma/\sqrt n\)，实际中 \(\sigma\) 未知，用 \(s\) 代替：\(\;SE\approx s/\sqrt n\)。
中心极限定理模拟器
试试：选“右偏”总体，把 n 从 1 拖到 5、30、100。直方图会① 越来越像钟形（CLT）② 越来越窄（SE = σ/√n 变小）③ 始终以 10 为中心。
为什么是 \(\sqrt n\)，不是 \(n\)？
样本量翻 4 倍，SE 只减半。这就是为什么“多收点数据”的边际收益递减：从 25 个增加到 100 个，精度提高一倍；要再提高一倍，得增加到 400 个。
某总体 σ = 600 元。样本量 n = 36 时，样本均值的标准误是多少？
\(SE=\sigma/\sqrt n=600/\sqrt{36}=600/6=100\) 元。B 是错把 \(\sqrt n\) 当成 \(n\)（600/36）。
家庭收入的分布是严重右偏的。抽 n = 200 户，样本均值的抽样分布大致是什么形状？
CLT 说的是样本均值的分布在 n 较大时近似正态，与总体是否偏态无关。单个家庭收入依然是右偏的，别把两者混淆。
4假设检验的逻辑：H₀、H₁ 与“疑罪从无”
假设检验是一种“反证法”：先假设没差别，再看数据和这个假设有多冲突。
两个假设
- 原假设 \(H_0\)（null hypothesis）：“没有差别 / 没有变化 / 机器没偏”。它总是带等号，例如 \(H_0:\mu=50\)。
- 备择假设 \(H_1\)（alternative）：你想找证据支持的说法，例如 \(H_1:\mu\neq 50\)。
法庭类比
| 法庭 | 假设检验 |
|---|---|
| 被告假定无罪 | 先假定 \(H_0\) 为真 |
| 检方提交证据 | 收集样本，算检验统计量 |
| 证据“超出合理怀疑” → 判有罪 | p 值足够小（\(p<\alpha\)）→ 拒绝 \(H_0\) |
| 证据不足 → 判“无罪”（≠ 证明清白） | p 值不够小 → 不能拒绝 \(H_0\)（≠ 证明 \(H_0\) 为真） |
反证思路的四步
- 假设 \(H_0\) 成立（例如机器以 50.0 为中心）。
- 在这个假设下，推出样本均值应该怎样分布（第 3 章：中心 50，宽度 SE）。
- 看实际观测到的 \(\bar x\) 落在这个分布的什么位置。
- 如果落在极端位置（在 \(H_0\) 下很少见），说明“\(H_0\) + 数据”很难同时成立 → 拒绝 \(H_0\)。
结论只有两种：“拒绝 \(H_0\)”或“不能拒绝 \(H_0\)”。不要说“接受 \(H_0\)”或“证明了没有差别”——证据不足和证明无差别是两回事。
某城市去年家庭平均月支出是 6000 元，研究者想知道今年是否上升。正确的假设是？
等号永远放在 \(H_0\)；想要找证据支持的“上升”放在 \(H_1\)。C 错在假设写的是统计量 \(\bar x\)——假设永远是关于总体参数 \(\mu\) 的。（\(H_0\) 写成 \(\mu\le 6000\) 也可以，计算方式相同。）
5检验统计量 \(t\)，t 分布与自由度
把“差了多少”换算成“差了几个标准误”。
样本均值离 \(\mu_0\) 差了 \(\bar x-\mu_0\)。但“差 0.3”是大是小，取决于抖动幅度。所以我们用标准误做单位：
\[t=\frac{\bar x-\mu_0}{s/\sqrt n}=\frac{\text{观察到的差距}}{\text{抽样波动的典型大小（SE）}}\]\(t=3\) 的意思是：样本均值比 \(H_0\) 的值高了 3 个标准误。如果 \(H_0\) 为真，这种情况很少见。|t| 越大，对 \(H_0\) 越不利。
为什么是 t，而不是 z？
如果总体 \(\sigma\) 已知，\(z=(\bar x-\mu_0)/(\sigma/\sqrt n)\) 服从标准正态分布。但现实中 \(\sigma\) 几乎总是未知，只能用样本的 \(s\) 代替。\(s\) 本身也在抖，这给统计量带来额外的不确定性，于是它的分布比正态尾巴更厚——这就是 t 分布（Student's t）。
- t 分布由自由度决定，单样本时 \(df=n-1\)。
- df 越小，尾巴越厚，同样的 |t| 越“不稀奇”，需要更大的 |t| 才能拒绝 \(H_0\)。
- df 越大，\(s\) 越接近 \(\sigma\)，t 分布越接近标准正态。
拖动自由度，看 t 分布如何逼近正态
常用临界值（由 scipy 计算）
| 自由度 df | 2 | 5 | 10 | 11 | 20 | 30 | 60 | 1000 | z（∞） |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 双侧 α=0.05：\(t_{0.025}\) | 4.303 | 2.571 | 2.228 | 2.201 | 2.086 | 2.042 | 2.000 | 1.962 | 1.960 |
| 单侧 α=0.05：\(t_{0.05}\) | 2.920 | 2.015 | 1.812 | 1.796 | 1.725 | 1.697 | 1.671 | 1.646 | 1.645 |
t 检验的前提：样本是随机、相互独立的；总体近似正态，或样本量足够大（靠中心极限定理）。小样本时，先画个直方图/箱线图看看有没有严重偏态或极端值。
n = 6 的小样本，为什么不能直接拿 1.96 当临界值？
小样本时 s 很不稳定，t 分布尾巴厚。df = 5 时双侧 5% 的临界值是 2.571，明显大于 1.96。用 1.96 会让你更容易“误判有差别”。
6p 值是什么、不是什么；α、拒绝域；单侧 vs 双侧
p 值把“t 有多极端”翻译成一个概率。
p 值：假如 \(H_0\) 为真，得到“和现在观测到的一样极端、或更极端”的结果的概率。
p 值越小 → 数据和 \(H_0\) 越冲突 → 反对 \(H_0\) 的证据越强。
p 值越小 → 数据和 \(H_0\) 越冲突 → 反对 \(H_0\) 的证据越强。
α（显著性水平）与拒绝域
在看数据之前，先定一个门槛 \(\alpha\)（常用 0.05）。规则：
\[p<\alpha\;\Longrightarrow\;\text{拒绝 }H_0\qquad\qquad p\ge\alpha\;\Longrightarrow\;\text{不能拒绝 }H_0\]等价地：把 t 分布两端面积合计为 \(\alpha\) 的区域叫拒绝域，t 落进去就拒绝。“比较 p 与 α”和“看 t 是否落入拒绝域”永远给出同一结论。
单侧 vs 双侧
| 备择假设 | 类型 | p 值怎么算 | 适用情形 |
|---|---|---|---|
| \(H_1:\mu\neq\mu_0\) | 双侧 | 两边尾巴：\(2P(T\ge|t|)\) | 不预设方向，任何偏离都关心（默认选择） |
| \(H_1:\mu>\mu_0\) | 右侧 | 右尾：\(P(T\ge t)\) | 事先有充分理由只关心“变大” |
| \(H_1:\mu<\mu_0\) | 左侧 | 左尾：\(P(T\le t)\) | 事先只关心“变小” |
某城市去年家庭平均月支出参考值 6000 元。今年随机调查 n = 25 户：\(\bar x=6240\) 元，\(s=600\) 元。
\(SE=600/\sqrt{25}=120\)，\(t=(6240-6000)/120=2.00\)，\(df=24\)。
• 右侧检验（\(H_1:\mu>6000\)）：\(p=0.0285\) < 0.05 → 拒绝 \(H_0\)；临界值 1.711。
• 双侧检验（\(H_1:\mu\neq6000\)）：\(p=0.0569\) > 0.05 → 不能拒绝；临界值 2.064。
\(SE=600/\sqrt{25}=120\)，\(t=(6240-6000)/120=2.00\)，\(df=24\)。
• 右侧检验（\(H_1:\mu>6000\)）：\(p=0.0285\) < 0.05 → 拒绝 \(H_0\)；临界值 1.711。
• 双侧检验（\(H_1:\mu\neq6000\)）：\(p=0.0569\) > 0.05 → 不能拒绝；临界值 2.064。
同一份数据，单侧显著、双侧不显著！所以方向必须在看数据之前就定好。看到 \(\bar x\) 偏大后再改成单侧检验以求“显著”，是不诚实的做法。
p 值可视化
默认就是上面家庭支出的例子（t = 2.00，df = 24）。切换“双侧/右侧”，看看 p 值如何翻倍。
p 值不是什么（高频误区）
✘ p 值不是“\(H_0\) 为真的概率”。p = 0.03 不代表“只有 3% 的可能没差别”。p 值是在假定 \(H_0\) 为真的前提下算的。
✘ p 值不是“结果由偶然造成的概率”。
✘ p 值不衡量差距的大小或重要性。很小的 p 可能对应很小的、无关紧要的差距（第 11 章）。
✘ p = 0.049 和 p = 0.051 的证据强度几乎一样，0.05 不是魔法分界线。
✘ p > 0.05 不说明“没有差别”，只说明“证据不足”。
✘ p 值不是“结果由偶然造成的概率”。
✘ p 值不衡量差距的大小或重要性。很小的 p 可能对应很小的、无关紧要的差距（第 11 章）。
✘ p = 0.049 和 p = 0.051 的证据强度几乎一样，0.05 不是魔法分界线。
✘ p > 0.05 不说明“没有差别”，只说明“证据不足”。
某检验得到 p = 0.02。下面哪个解释正确？
p 值是一个条件概率：以“H₀ 为真”为前提，看数据有多极端。A、C 把条件倒过来了，D 混淆了 p 值和效应大小。
t = 2.00、df = 24 时，双侧 p = 0.0569。如果改成右侧检验（方向与 t 一致），p 值是？
t 分布对称，双侧 p = 2 × 单侧 p，所以单侧 p = 0.0569 / 2 ≈ 0.0285。
7第一类错误、第二类错误与检验力
任何根据样本做的判断都可能出错，关键是知道会错在哪、错的概率有多大。
| 真实情况：\(H_0\) 为真（没差别） | 真实情况：\(H_0\) 为假（有差别） | |
|---|---|---|
| 决定：拒绝 \(H_0\) | 第一类错误（误报，“冤枉好人”） 概率 = \(\alpha\) | 正确 ✔ 概率 = 检验力 \(1-\beta\) |
| 决定：不拒绝 \(H_0\) | 正确 ✔ | 第二类错误（漏报，“放走坏人”） 概率 = \(\beta\) |
- 质检例子：机器没偏，却判定偏了 → 无谓停机（第一类）；机器真偏了，却没查出来 → 次品流出（第二类）。
- \(\alpha\) 由你事先设定；把 \(\alpha\) 调小能减少误报，但会增加漏报（\(\beta\) 变大）。
检验力（power）由什么决定？
检验力 = 当差别真实存在时，检验能把它“抓出来”的概率。它随以下因素变大：
- 样本量 n 越大（SE 越小）；
- 真实差距（效应）越大；
- 数据噪声 σ 越小；
- \(\alpha\) 越大（但代价是更多误报）。
检验力模拟：重复做 2000 次研究
把“真实差距”拖到 0：此时 H₀ 为真，拒绝比例应在 5% 左右——这正是 α 的含义。
下表是单样本双侧 t 检验（α = 0.05）的理论检验力（用 scipy 的非中心 t 分布精确计算），可以和模拟结果对照：
| n \ 真实差距（σ 为单位） | 0.2（小） | 0.5（中） | 0.8（大） |
|---|---|---|---|
| 5 | 6.4% | 14.1% | 28.1% |
| 10 | 8.8% | 29.3% | 61.6% |
| 20 | 13.6% | 56.5% | 92.4% |
| 30 | 18.5% | 75.4% | 98.8% |
| 50 | 28.4% | 93.4% | ≈100% |
| 100 | 50.8% | 99.9% | ≈100% |
小样本 + 小效应 → 检验力很低：即使差别真实存在，大多数时候也会得到“不显著”。这就是为什么“不显著”≠“没差别”。
注：检验力的精确计算超出课程范围，这里只用来建立直觉；表中数值用 scipy 计算。
某研究 n = 8，结果不显著（p = 0.30）。最合理的结论是？
不显著只能说明证据不足。样本只有 8 个时，即使存在中等大小的差别，检验力也只有两三成。（C 错：第一类错误只可能在“拒绝 H₀”时发生。）
8单样本 t 检验：完整算例
回到第 1 章的工厂：零件的平均长度是否符合 50.0 mm 的标准？
质检员随机抽取 12 个零件，长度（mm）：
50.3, 49.8, 50.6, 50.4, 50.1, 50.7, 49.9, 50.5, 50.2, 50.8, 50.0, 50.3
50.3, 49.8, 50.6, 50.4, 50.1, 50.7, 49.9, 50.5, 50.2, 50.8, 50.0, 50.3
逐步计算（点“下一步”）
第 1 步：写假设、定 α。
我们关心偏长或偏短都算不合格，用双侧检验： \[H_0:\mu=50.0\qquad H_1:\mu\neq 50.0\qquad \alpha=0.05\]
我们关心偏长或偏短都算不合格，用双侧检验： \[H_0:\mu=50.0\qquad H_1:\mu\neq 50.0\qquad \alpha=0.05\]
第 2 步：算样本均值。
\[\bar x=\frac{50.3+49.8+\cdots+50.3}{12}=\frac{603.6}{12}=50.30\]
第 3 步：算样本标准差。离差 \(x_i-\bar x\)：0, −0.5, 0.3, 0.1, −0.2, 0.4, −0.4, 0.2, −0.1, 0.5, −0.3, 0。平方和：
\[\sum(x_i-\bar x)^2=1.10,\qquad s^2=\frac{1.10}{12-1}=0.100,\qquad s=\sqrt{0.100}=0.3162\]
第 4 步：算标准误。
\[SE=\frac{s}{\sqrt n}=\frac{0.3162}{\sqrt{12}}=\frac{0.3162}{3.4641}=0.0913\]
第 5 步：算检验统计量。
\[t=\frac{\bar x-\mu_0}{SE}=\frac{50.30-50.0}{0.0913}=3.286,\qquad df=n-1=11\]
样本均值比标准值高出约 3.3 个标准误。
第 6 步：求 p 值 / 对比临界值。
\[p=2P(T_{11}\ge 3.286)=0.0073\qquad t_{0.025,\,11}=2.201\]
\(|t|=3.286>2.201\)，且 \(p=0.0073<0.05\)。
第 7 步：下结论（统计语言 → 业务语言）。
统计结论：在 α = 0.05 下拒绝 \(H_0\)。
业务表述：样本提供了较强的证据，表明这台机器生产的零件平均长度不等于 50.0 mm，估计偏长约 0.3 mm（95% 置信区间 50.10～50.50 mm，见第 10 章）。是否需要停机校准，还要看 0.3 mm 相对于工艺公差是否重要（第 11 章）。
统计结论：在 α = 0.05 下拒绝 \(H_0\)。
业务表述：样本提供了较强的证据，表明这台机器生产的零件平均长度不等于 50.0 mm，估计偏长约 0.3 mm（95% 置信区间 50.10～50.50 mm，见第 10 章）。是否需要停机校准，还要看 0.3 mm 相对于工艺公差是否重要（第 11 章）。
以上数值均用 Python（scipy.stats.ttest_1samp）复核：t = 3.2863，df = 11，p = 0.00725。
如果同样的 \(\bar x=50.30\)、\(s=0.3162\)，但只抽了 n = 3 个零件，t 值会怎样？
\(SE=0.3162/\sqrt3=0.1826\)，\(t=0.30/0.1826\approx1.64\)，df = 2 时临界值 4.303，远不显著。同样的差距，样本少就“说服力不够”。
9两样本 t 检验（Welch）与配对 t 检验
比较两组的均值。关键先问：两组数据是独立的两批人/物，还是同一批对象的两次测量？
9.1 两独立样本 t 检验（Welch）
两组独立样本，比较总体均值 \(\mu_1\) 和 \(\mu_2\)。思路和单样本完全一样：“差距 ÷ 差距的标准误”。
\[t=\frac{(\bar x_1-\bar x_2)-0}{SE},\qquad SE=\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}\]这个 SE 不要求两组方差相等，称为 Welch 检验。它的自由度由软件按公式算出（通常不是整数），Minitab 会直接给出。
某学院用两种方法教同一门课（学生随机分到两个班）。期末成绩：
方法 A（10 人）：78, 85, 82, 88, 75, 90, 84, 80, 86, 83
方法 B（12 人）：72, 80, 68, 85, 77, 74, 79, 70, 83, 76, 81, 73
方法 A（10 人）：78, 85, 82, 88, 75, 90, 84, 80, 86, 83
方法 B（12 人）：72, 80, 68, 85, 77, 74, 79, 70, 83, 76, 81, 73
逐步计算：两种教学方法的平均成绩是否不同？
第 1 步：假设。
\[H_0:\mu_A=\mu_B\qquad H_1:\mu_A\neq\mu_B\qquad\alpha=0.05\]
第 2 步：两组描述统计。
| n | 均值 | 离差平方和 | 方差 \(s^2\) | 标准差 s | |
|---|---|---|---|---|---|
| A | 10 | 831/10 = 83.10 | 186.9 | 186.9/9 = 20.767 | 4.557 |
| B | 12 | 918/12 = 76.50 | 307.0 | 307.0/11 = 27.909 | 5.283 |
第 3 步：Welch 标准误。
\[\frac{s_A^2}{n_A}=\frac{20.767}{10}=2.0767,\quad \frac{s_B^2}{n_B}=\frac{27.909}{12}=2.3258\]
\[SE=\sqrt{2.0767+2.3258}=\sqrt{4.4025}=2.098\]
第 4 步：t 统计量与自由度。
\[t=\frac{83.10-76.50}{2.098}=\frac{6.60}{2.098}=3.146,\qquad df\approx 19.96\ (\text{软件给出})\]
第 5 步：p 值。
\[p=2P(T_{19.96}\ge3.146)=0.0051<0.05,\qquad t_{0.025,\,19.96}=2.086\]
（Minitab 可能把 Welch 自由度显示为取整后的 19，此时 p ≈ 0.0053，结论不变。）
第 6 步：结论。拒绝 \(H_0\)。数据提供了较强证据表明两种方法的平均成绩不同，A 估计高 6.6 分，95% 置信区间 [2.22, 10.98] 分。
因为学生是随机分班的，可以比较有底气地说差异与教学方法有关；如果是学生自己选班，就只能说“两班平均成绩不同”，不能直接归因于方法。
因为学生是随机分班的，可以比较有底气地说差异与教学方法有关；如果是学生自己选班，就只能说“两班平均成绩不同”，不能直接归因于方法。
复核：scipy.stats.ttest_ind(A, B, equal_var=False) → t = 3.1456，df = 19.962，p = 0.00510。
Welch 自由度公式（了解即可，软件会算）：\(\displaystyle df=\frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\frac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1-1}+\frac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2-1}}\)。
9.2 配对 t 检验 = 差值的单样本 t 检验
如果两组数据来自同一批对象（同一个人减重前后、同一家门店改版前后），两次测量天然相关，不能当成独立的两组。做法非常简单：
先对每个对象算差值 \(d_i=\text{前}_i-\text{后}_i\)，然后对这一列差值做单样本 t 检验，检验 \(H_0:\mu_d=0\)，自由度 \(df=n-1\)（n 是配对数）。
\[t=\frac{\bar d-0}{s_d/\sqrt n}\]
8 名参加者参加 12 周减重计划，前后体重（kg）：
| 参加者 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 前 | 82.4 | 76.8 | 91.2 | 68.5 | 88.0 | 73.6 | 95.1 | 79.3 |
| 后 | 80.1 | 76.2 | 88.4 | 68.9 | 85.6 | 72.0 | 92.3 | 77.8 |
| d = 前 − 后 | 2.3 | 0.6 | 2.8 | −0.4 | 2.4 | 1.6 | 2.8 | 1.5 |
逐步计算：减重计划前后体重是否有变化？
第 1 步：假设。
\[H_0:\mu_d=0\qquad H_1:\mu_d\neq0\qquad\alpha=0.05\]
第 2 步：差值的均值与标准差。
\[\bar d=\frac{13.6}{8}=1.70,\quad \sum(d_i-\bar d)^2=8.94,\quad s_d=\sqrt{\frac{8.94}{7}}=\sqrt{1.2771}=1.130\]
第 3 步：标准误与 t。
\[SE=\frac{1.130}{\sqrt8}=0.3996,\qquad t=\frac{1.70}{0.3996}=4.255,\qquad df=7\]
第 4 步：p 值。
\[p=2P(T_7\ge4.255)=0.0038<0.05,\qquad t_{0.025,\,7}=2.365\]
第 5 步：结论。拒绝 \(H_0\)。平均每人体重下降 1.70 kg，95% 置信区间 [0.76, 2.64] kg。
注意：这里没有对照组，体重下降可能来自计划本身，也可能来自季节、自然波动等。检验只说明“前后有差异”，不能单凭它说“计划导致了减重”。
注意：这里没有对照组，体重下降可能来自计划本身，也可能来自季节、自然波动等。检验只说明“前后有差异”，不能单凭它说“计划导致了减重”。
第 6 步（对比）：如果错把它当成两独立样本？
“前”组均值 81.86，“后”组均值 80.16，Welch 检验 t = 0.395，p = 0.699——完全不显著！
原因：每个人体重本身差别很大（68～95 kg），这个“人与人之间”的波动淹没了“前后”变化。配对做差后，个体差异被抵消，只剩下我们关心的变化，检验力大大提高。
“前”组均值 81.86，“后”组均值 80.16，Welch 检验 t = 0.395，p = 0.699——完全不显著！
原因：每个人体重本身差别很大（68～95 kg），这个“人与人之间”的波动淹没了“前后”变化。配对做差后，个体差异被抵消，只剩下我们关心的变化，检验力大大提高。
复核：scipy.stats.ttest_rel(前, 后) → t = 4.2548，df = 7，p = 0.00377。
9.3 该用哪个检验？决策图
我要比较的是几个“均值”？
▼
一组数据 vs 一个已知标准值
（零件 vs 50 mm；今年支出 vs 去年参考值）
→ 单样本 t 检验
\(df=n-1\)
（零件 vs 50 mm；今年支出 vs 去年参考值）
→ 单样本 t 检验
\(df=n-1\)
两组，是同一批对象的两次测量 / 一一配对
（同一人前后；同一门店改版前后）
→ 配对 t 检验
= 差值 d 的单样本 t，\(df=n-1\)
（同一人前后；同一门店改版前后）
→ 配对 t 检验
= 差值 d 的单样本 t，\(df=n-1\)
两组，相互独立的两批对象
（A 班 vs B 班；男 vs 女）
→ 两样本 t 检验（Welch）
\(SE=\sqrt{s_1^2/n_1+s_2^2/n_2}\)
（A 班 vs B 班；男 vs 女）
→ 两样本 t 检验（Welch）
\(SE=\sqrt{s_1^2/n_1+s_2^2/n_2}\)
某连锁店在 15 家门店试点新陈列方式，记录每家门店试点前一个月和试点后一个月的销售额。应该用什么检验？
同一家门店前后两次测量，天然配对。用差值能消掉“门店大小不同”带来的巨大波动。
随机抽取 40 名男性和 35 名女性，比较平均每月网购支出。应该用？
男女是两批不同的人，没有一一对应关系，是独立样本。（而且两组人数都不同，根本无法配对。）
10置信区间与假设检验：一枚硬币的两面
检验回答“是不是 \(\mu_0\)”；置信区间回答“大概在哪个范围”。
\[\text{95\% 置信区间}=\bar x\;\pm\;t_{0.025,\,df}\times SE\]单样本零件例子：\(50.30\pm2.201\times0.0913=50.30\pm0.201\Rightarrow[50.10,\;50.50]\)。
对应关系：双侧检验在 α = 0.05 下拒绝 \(H_0:\mu=\mu_0\) ⇔ 95% 置信区间不包含 \(\mu_0\)。
零件：区间 [50.10, 50.50] 不含 50.0 ⇔ p = 0.0073 < 0.05。
零件：区间 [50.10, 50.50] 不含 50.0 ⇔ p = 0.0073 < 0.05。
| 算例 | 估计值 | 95% 置信区间 | 包含 0（或 μ₀）吗？ | p 值 |
|---|---|---|---|---|
| 零件长度（μ₀ = 50） | 50.30 | [50.10, 50.50] | 不含 50 | 0.0073 |
| 教学方法 A − B | 6.60 分 | [2.22, 10.98] | 不含 0 | 0.0051 |
| 减重 前 − 后 | 1.70 kg | [0.76, 2.64] | 不含 0 | 0.0038 |
置信区间比单个 p 值信息更多：它同时告诉你方向、大小和不确定性。实践中推荐“p 值 + 置信区间”一起报告。
“95% 置信”指的是方法的可靠性：如果反复抽样、每次都这样构造区间，大约 95% 的区间会盖住真实的 \(\mu\)。不是说“\(\mu\) 有 95% 的概率落在这个具体区间里”（\(\mu\) 是固定的）。
某检验的 95% 置信区间是 [−1.2, 3.5]。双侧 α = 0.05 下检验“差值 = 0”，结论是？
区间包含 0 ⇔ 双侧 p > 0.05。同时注意区间很宽：真实差值可能是负的，也可能高达 3.5，说明数据“说不清”，而不是“证明没差别”。
11实际意义：统计显著 ≠ 实际重要
学会检验之后，更重要的是学会不被 p 值牵着走。
11.1 样本够大，什么都“显著”
某平台有 40,000 户家庭的数据：平均月支出 \(\bar x=6008\) 元，\(s=600\) 元，与参考值 6000 元比较。
\(SE=600/\sqrt{40000}=3\)，\(t=8/3=2.67\)，\(p=0.0077\)——“高度显著”！
但差距只有 8 元，约为月支出的 0.13%，对任何实际决策几乎没有意义。
\(SE=600/\sqrt{40000}=3\)，\(t=8/3=2.67\)，\(p=0.0077\)——“高度显著”！
但差距只有 8 元，约为月支出的 0.13%，对任何实际决策几乎没有意义。
原因：p 值同时受差距大小和样本量影响。n 极大时 SE 极小，再微小的差距都会被判“显著”。
11.2 所以要同时看“效应大小”
- 首选：用原始单位报告差距和置信区间，例如“平均多 8 元（95% CI …）”“平均减重 1.7 kg”。业务人员最容易判断它重不重要。
- 也可以把差距除以标准差，看它相当于“几个标准差”：零件例子 \(0.30/0.316\approx0.95\)，是相当大的偏移；支出例子 \(8/600\approx0.013\)，微乎其微。（这种标准化差距在课外常称为效应量，了解即可。）
11.3 “不显著” ≠ “没差别”
小样本、噪声大时，检验力低，真实存在的差别也可能“不显著”（第 7 章）。正确说法：“现有数据不足以证明存在差异”，最好附上置信区间，让读者看到可能的范围有多宽。
11.4 在商业与经济决策中的用法
质量控制
抽检判断生产线均值是否偏离标准（单样本 t）。同时要问：偏离量相对于公差是否要紧？误报（无谓停机）与漏报（次品流出）哪个代价大？据此选 α。A/B 测试
用户随机分到新旧两版页面，比较平均消费额（Welch t）。因为随机分组，差异才比较能归因于页面改动。还要看提升的金额是否覆盖改版成本。政策 / 项目评估
比较实施前后（配对 t）或参与/未参与群体（两样本 t）。但观察数据中两组往往本来就不同（自选择），检验只能说明“有差异”，不能直接说政策“导致”了差异。报告时的好习惯
① 事先定好假设、方向和 α；② 报告均值、差距、置信区间和 p 值；③ 说明样本怎么来的；④ 区分“统计显著”和“业务上重要”；⑤ 不做超出设计的因果解读。多次尝试、只挑显著的结果来报告（例如换着子样本、换着指标反复检验，直到 p < 0.05），会让第一类错误率远高于 5%。检验必须事先规划好。
一项 A/B 测试有 200 万用户，新版人均消费高 0.05 元，p < 0.001。产品经理应该？
显著说明“差异不太可能只是抽样运气”，但不说明差异有多重要。0.05 元的提升是否值得，要看业务成本与收益。C 也不对：结果是有效的，只是实际意义可能不大。
12Minitab 操作路径与输出解读
三个检验都在 Stat > Basic Statistics 菜单下。
| 检验 | 菜单路径 | 关键设置 |
|---|---|---|
| 单样本 t | Stat > Basic Statistics > 1-Sample t | 选数据列；勾选 Perform hypothesis test，在 Hypothesized mean 填 \(\mu_0\)（如 50）；Options 里设置置信水平与备择方向（≠ / < / >） |
| 两样本 t（Welch） | Stat > Basic Statistics > 2-Sample t | 选择数据排列方式（两组各在一列，或一列数值 + 一列分组）；Options 里不勾选 Assume equal variances，即为 Welch 检验 |
| 配对 t | Stat > Basic Statistics > Paired t | 分别选“前”“后”两列（注意顺序：差值 = 第一列 − 第二列）；Options 里假设差值通常为 0 |
如何读输出（字段含义）
Minitab 的输出通常分为“描述统计 / 估计”和“检验”两块。常见字段：
| 字段 | 含义 | 对应本讲义 |
|---|---|---|
| N | 样本量 | \(n\) |
| Mean | 样本均值 | \(\bar x\)（配对时为 \(\bar d\)） |
| StDev | 样本标准差 | \(s\) |
| SE Mean | 均值的标准误 | \(s/\sqrt n\) |
| 95% CI | 95% 置信区间（均值、差值或配对差值） | 第 10 章 |
| Difference | 两样本均值之差的估计 | \(\bar x_1-\bar x_2\) |
| Null / Alternative hypothesis | 软件所检验的 \(H_0\) 与 \(H_1\)，核对方向是否正确 | 第 4、6 章 |
| T-Value | 检验统计量 | \(t\) |
| DF | 自由度（Welch 时由软件计算，可能显示为整数） | 第 5、9 章 |
| P-Value | p 值，与 α 比较 | 第 6 章 |
自查清单：① 方向（≠ / < / >）和 \(\mu_0\) 是否设对；② 两样本时是否没勾 “Assume equal variances”；③ 配对时两列顺序（差值的正负号）；④ 用本讲义的公式手算 SE 和 t，和输出对一下，确认你真的懂了每个数字。
练习：把第 8、9 章的示例数据输入 Minitab，你应得到与讲义一致的 t 值和 p 值（Welch 例子的 DF 显示可能略有不同）。
在 Minitab 的 2-Sample t 中勾选了 “Assume equal variances”，这意味着？
不勾选才是 Welch（不假设方差相等），这也是更稳妥的默认做法。
13综合小测与速查卡
最后做几道综合题，再把整套方法压缩成一张卡片。
在其他条件不变时，以下哪个变化会让 t 统计量的绝对值变大？
\(t=(\bar x-\mu_0)/(s/\sqrt n)\)，n 变大 → SE 变小 → |t| 变大。s 变大则 |t| 变小。α 不影响 t，只影响判定门槛。
研究者看到 \(\bar x\) 高于参考值后，把双侧检验改为右侧检验，p 从 0.08 变成 0.04，宣布“显著”。问题在哪？
单侧检验本身没错，但必须事先有理由并事先决定。看完数据再选方向，相当于偷偷把 α 翻倍。
配对 t 检验的自由度是多少？（共 20 对数据）
配对 t 就是对 20 个差值做单样本 t，df = n − 1 = 19。
速查卡
通用思路
\(\displaystyle t=\frac{\text{估计值}-\text{H}_0\text{ 下的值}}{SE}\)|t| 大 → p 小 → 证据强。
\(p<\alpha\) → 拒绝 \(H_0\)；否则“不能拒绝”（≠ 证明无差别）。
单样本 t
\(t=\dfrac{\bar x-\mu_0}{s/\sqrt n}\)，\(df=n-1\)CI：\(\bar x\pm t_{0.025,df}\,s/\sqrt n\)
Minitab：1-Sample t
两独立样本（Welch）
\(t=\dfrac{\bar x_1-\bar x_2}{\sqrt{s_1^2/n_1+s_2^2/n_2}}\)，df 由软件给出Minitab：2-Sample t（不勾 equal variances）
配对 t
\(d_i=\text{前}_i-\text{后}_i\)，\(t=\dfrac{\bar d}{s_d/\sqrt n}\)，\(df=n-1\)本质：差值的单样本 t
Minitab：Paired t